あとは先ほどと同様に単位ベクトルを作ります。

0000010325 00000 n →1行目を-3倍して2行目に足す→ 0000013788 00000 n

この連立方程式はもちろん普通に解くことが出来るのですが、これを行列を使って求めるのが「 掃き出し法 」です。 なぜわざわざ行列を使うのかというと、一言で言えば、「計算が楽だから」です。 というのも、連立方程式って実際には係数さえあれば計算することができます。 0000391653 00000 n

3行目を1/4倍して1を作ります。(2行目にすでに1がありますが2行目を使うと2列目が崩れてしまいます) この連立方程式はもちろん普通に解くことが出来るのですが、これを行列を使って求めるのが「 掃き出し法 」です。 なぜわざわざ行列を使うのかというと、一言で言えば、「計算が楽だから」です。 というのも、連立方程式って実際には係数さえあれば計算することができます。

0000392175 00000 n %PDF-1.6 %���� 0000007335 00000 n

連立一次方程式を掃き出し法で解く例題の丁寧な解答例をリスト形式で掲載したページです。例題の中には「解をただ一つだけ持つ場合」「解を無数に持つ場合(不定)」「解を持たない場合(不能)」の全パターンが含まれます。よろしければご覧ください。 121 0 obj <>stream 例題を解きながら掃き出し法を用いて連立一次方程式を解く方法をコツとともにわかりやすく解説します。... 例題を解きながら行列の簡約化の手順をステップに分けてどこよりもわかりやすく解説します。行列の簡約化は線形代数のほとんどの問題で登場する操作であり、ポイントを知っておくことで簡単にできるようになります。... \(\mathrm{rank}\:A=\mathrm{rank}\:[A| \vec b]=n\iff\)ただ1つの解 \(\vec x\), \(\mathrm{rank}\:A<\mathrm{rank}\:[A| \vec b]\iff\)解なし. 0000002711 00000 n 準備が整ったところで、いよいよ3元一次連立方程式の解き方に入ります。 今回は次の3元一次連立方程式を例として解説していきます。 2x+y+3z=6. Ma�ex���W�Š�i�\�R%B���G%D�������$�|���~C

183 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<7041229BB380E142BD928E4D949984F3>]/Index[154 64]/Info 153 0 R/Length 133/Prev 458439/Root 155 0 R/Size 218/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream 正則行列であるか行列式を求めて確かめる これで1が作れました。あとは先ほどと同様に変形すれば単位ベクトルが作れます。 xref 0000002097 00000 n �'m�Y����7*i�h�=6��������y�b�\�&�N���Y�&}1������%qz����W��E����Æ��&�� ����ž�ͣURx��@m͵ 7I��A2��IX�����5���^��۶ 1k�@h�Ҡ��3Gh��h��%��&�;u���MP���Ь��C��p�^�B�.���јo���c��

0000002234 00000 n 0000392345 00000 n 0000004575 00000 n ¦ã®åˆ—を単位ベクトル 0000013431 00000 n 0000002992 00000 n これで2列目が単位ベクトルになりました。, 後は3列目を単位ベクトルにするだけです。 0000010904 00000 n 3x-2y-z=7. 0000005021 00000 n x+3y+2z=1. 0000004539 00000 n 行列で連立方程式の解を求めるのは、最も基本的な行列の使い方の一つです。とてもシンプルなものですが、行列を扱う上でなくてはならない技術です。, また、普通の解き方では、未知数が何十何百もあるような連立方程式に対応することはほとんど不可能です。しかし、行列とコンピュータの力を借りると、どれだけ未知数が多い連立方程式でも解くことができます。, とても重要な技術なので、ぜひ、このページでしっかりと学んでいただければと思います。, 問題ツルとカメが合わせて9羽(匹)いて、足の数の合計が22本あることがわかりました。ツルとカメは、それぞれ何羽(匹)ずついるでしょうか?, \(\begin{eqnarray}x + y & = & 9 \tag{1} \\2x+4y & = & 22 \tag{2} \end{eqnarray}\), 通常の方法では、この連立方程式を解くには、まず以下のように「 \((2)-2\times(1)\)」 を行うことで \(y\) の値を得ます。, \[\begin{array}{rrr} & 2x+4y&=&22 \\-) & (2x+2y&=&18) \\\hline =)& 2y&=&4\\ =)& y&=&2\end{array}\], これで \(y = 2\) であることがわかりました。後は、この \(y \) の値を \(x=9-y\) にあてはめると \(x=9-2=7\) であることがわかります。, つまり答えはカメが\(2\)匹、ツルが\(7\)羽 ということになります。普通、連立方程式はこのように解きます。しかし連立方程式は、行列によっても解くことが可能です。次に、それについて見ていきましょう。, \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 &4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 9 \\ 22 \end{array} \tag{3} \right)\), 解説すると、この式\((3) \)の左辺は2行2列の行列と、2行1列の行列(ベクトルと見ることもできる)の計算なので、行列の積の法則を使えば、もとの連立方程式と同じものを表していることがわかります。, \[\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 &4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 1\times x + 1\times y \\ 2\times x + 4\times y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} x+y \\ 2x+4y \end{array} \right)\], \[\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 22 \end{array} \tag{4} \right)\], 行列を使って連立方程式を解くということは、言ってみれば、行列の成分を変形していくという作業です。, その手順は、上で解説した通常の解き方と全く同じです。先ほどは、式\((1)\)を2倍にしたものを式\((2)\)から引きました。それによって、\(2y\) の値が得られたので、それを\(\frac{1}{2}\)倍したものを式\((1)\)から引きました。, \[\fbox{① 2行目-1行目×2, ② 2行目÷2, ③ 1行目-2行目}\], \[\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 22 \end{array} \right)\overset{\text{①}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} \right) \\\overset{\text{②}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)\overset{\text{③}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \\\], 最後の行列にご注目ください。これを連立方程式に復元すれば、既に答えが出ていることがわかります。, \[\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 7 \\ 2 \end{array} \right)\Longrightarrow\begin{cases}x = 7 \\y = 2\end{cases}\], \[\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 22 \end{array} \right)\], \[\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\], の形までもっていくということなのです。このような対角線の成分が\(1\)で、それ以外が\(0\)の正方行列のことを「単位行列」と言います。, つまり、行列を使った連立方程式とは、行の基本変形を行うことで、方程式の左側に置いた行列を単位行列に変換する作業なのです。, これが行列を使った連立方程式の解き方です。普通の解き方と比べて大差ないように思えるかもしれませんが、実際は \(x, y, z\cdots\) と未知数が増えていくほど、威力を発揮します。, というよりも、未知数が何十個、何百個にもなるような巨大な連立方程式は、行列とコンピュータの力がなければ解くことはできません。, ポイント:行の基本変形と単位行列行列の連立方程式とは、左側に置いた行列を、行の基本変形を使って単位行列に変換する作業。そうして単位行列の右側に現れた値が連立方程式の解に相当する。, 行列の基本変形を使って、多連立方程式を解く場合も見ておきましょう。多連立方程式といっても、未知数が3つと少ないものですが、行列の威力は十分に体感することができます。, \[\begin{cases}x+y-z & = & 6 \\x+2y+z & = & 12 \\2x+3y-z & = & 2\end{cases}\], \[\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 6\\ 1 & 2 & 1 & 12\\ 2 & 3 & -1 & 2 \end{array} \right)\], 多連立方程式の場合、そのための効率の良いやり方があります。まずは以下のように、行列の対角線より下の部分が0になるようにします。, \[\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\0 & a_{22} & a_{32}\\0 & 0 & a_{33}\end{array} \right)\], \[\fbox{①2行目-1行目, ②3行目-(1行目×2), ③3行目-2行目, ④3行目×(-1)}\], \[\overset{\text{①}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 6\\0 & 1 & 2 & 6\\2 & 3 & -1 & 2\end{array} \right) \overset{\text{②}}{\Longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 6\\0 & 1 & 2 & 6\\0 & 1 & 1 & -10\end{array} \right) \\\overset{\text{③}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 6\\0 & 1 & 2 & 6\\0 & 0 & -1 & -16\end{array} \right) \overset{\text{④}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 6\\0 & 1 & 2 & 6\\0 & 0 & 1 & 16\end{array} \right)\], こうして対角線より下の部分を0にすることができたら、次は同じようにして対角線より上の部分を0にしていきます。, なお、この時点で \(z\) の値がわかっているので、コンピュータの場合は、これを元の連立方程式に代入する方法で、あっという間に解いてしまいます。, しかし、人間にとっては、未知数が増えれば増えるほど、その方法で解を求めるのは困難になっていきます。これはコンピュータの計算能力と人の計算能力の根本的な違いによるものです。, そこで、人の手で連立方程式を解く場合は、次に、対角線より上の部分を0にしていくというステップを経ることになるのです。, \[\fbox{⑤2行目-(3行目×2), ⑥1行目+3行目, ⑦1行目-2行目}\], \[\overset{\text{⑤}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 6\\0 & 1 & 0 & -26\\0 & 0 & 1 & 16\end{array} \right)\overset{\text{⑥}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 0 & 22\\0 & 1 & 0 & -26\\0 & 0 & 1 & 16\end{array} \right) \\\overset{\text{⑦}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 48\\0 & 1 & 0 & -26\\0 & 0 & 1 & 16\end{array} \right)\], これで単位行列が出てきましたね。この単位行列を使って連立方程式を再現したら次のようになります。, \[\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c}x \\y \\z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}48 \\-26 \\16\end{array} \right)\], \[\begin{cases}x & = & 48 \\y & = & -26 \\z & = & 16\end{cases}\], ポイント:掃き出し法未知数が多い連立方程式を行列で解く場合、まず対角線より下の要素を0にする。次に対角線より上の要素を0にするという方法がもっとも効率が良い。この方法を掃き出し法という。, 行の基本変形の補足行列の基本変形にはもう1つ、③行を入れ替えるという方法があります。例えば、以下のように対角線に0の成分が既にある場合は途中で演算が行き詰まってしまいます。このような時は、行を入れ替えることで演算を続けることが可能になります。, \[\left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 3 & 2 & 6\\ 1 & 2 & 1 & 12\\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{array} \right)\overset{\text{入れ替え}}{\Longrightarrow}\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 & 12\\ 0 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right)\], 以上が行列の連立方程式の解き方です。これはシンプルな技術ですが、今後、線形代数の様々な場面で使うことになりますので、しっかりと抑えておきましょう。, 行列で連立方程式を解くということは、左に置いた行列を単位行列に変換するという作業です。このとき右側に現れる値が、その連立方程式の解です。そして、行列を単位行列に変換する作業のことを「行列の基本変形」といいます。, 掃き出し法とは、主にサイズの大きな行列に対して行われる物で、まず対角線より下の要素を0にして、その後に対角線より上の要素を0にするという方法です。, 以上の点はしっかりと覚えておきましょう。なお、行列の連立方程式を解いていると、実はそのうち、解が存在しないか一つに定まらない式に出会うことがあります。そのような行列は「非正則行列」と言います。それでは、非正則行列と正則行列の違いは何なのでしょうか?, それについては、次の『逆行列の求め方と線形代数のために抑えるべきポイントの本質的な解説』で解説しています。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, 行列を使った連立方程式とは、行の基本変形を行うことで、方程式の左側に置いた行列を単位行列に変換する作業.

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