空間も平面の組み合わせでできているのです。, \(\,\color{red}{(柱体の体積)=(底面積)\times (高さ)}\,\), \(\begin{eqnarray}\displaystyle
この垂線の長さが聞かれていることです。

面積を出して底辺を変えるという回りくどい方法もありますが相似を利用した方が早いです。 見慣れないうちはわかりにくいでしょうけど 三角形の面積の公式と同じ形をしています。, \(\begin{eqnarray}\displaystyle という単純なミスです。 立体はイメージしにくいです。

 

2020年(令和2年)に行われた東京都立入試前期の第5問立体問題の解説です。 空間図形も平面図形の組み合わせなので利用する基本は平面と同じです。 ポイントは三平方の定理の利用と四角錐の体積の高さとなる垂線を求めるだけです … 五角錐の体積です。   三角錐の髙さになっています。 \end{eqnarray}\), よって求める体積は、全体から三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)を引いて, \(32-4=\underline{ 28 } (\mathrm{cm^3})\), 体積の問題は、「難しい」と感じたら、「全体から部分を引く」と思い出して下さい。
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三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)の高さも同じ赤線の\(\,\color{red}{6}\,\)なので、, 三角錐\(\,\mathrm{O-AEF}\,\)の体積\(\,V_3\,\)は、, \(\begin{eqnarray}\displaystyle 求める立体が四角錐なので、 (単位は省略しておきます。) \end{eqnarray}\), です。 代表的な \(2\) つの解き方を確認しておきましょう。, \(CE\) の長さは、底面を三角形 \(OAB\) と見たときの その体積は \(6cm^3\)  \(\,\color{red}{(扇形の面積)=(弧の長さ)\times(扇形の半径)\div 2}\,\), 数学らしく書くと、扇形の面積\(\,\mathrm{S}\,\)は、おうぎ形の半径\(\,r\,\)と弧の長さ\(\,\ell\,\)を用いて、, \(\displaystyle \color{red}{\mathrm{S}=\frac{1}{2}\,r\,\ell} \), となります。 \(QE=x(cm)\) とおきます。, \(OQ\) の長さは、上の解法でも求めましたが \(\sqrt{13}cm\) です。, 三角形 \(OEC\) より \displaystyle =\pi\times (12)^2\times\frac{5}{12}\\ (急いで入力したので間違いがあればご指摘ください。), 最後の問題は\(\,5\,\)点です。

何度も言っていることですが、数学の答えは1つでも、求め方は1つではないんですよ。, 〔問2〕は立体\(\,\mathrm{P-DQRH}\,\)の体積、つまり四角錐の体積を求める問題です。, 点\(\,\mathrm{Q}\,\)を通り\(\,\mathrm{AE}\,\)に平行な線と\(\,\mathrm{EF}\,\)との交点を\(\,\mathrm{R}\,\)

点\(\,\mathrm{Q}\,\)が頂点\(\,\mathrm{A}\,\)に一致するときの\(\,\mathrm{△DQP}\,\)の面積を求めます。このとき、(\(\,\mathrm{ABCD-EFGH}\,\)は直方体) となる点\(\,\mathrm{P}\,\)を通るので平面\(\,\mathrm{ABCD}\,\)を抜き出すと、 より \(\sqrt{13}cm\) です。  \(\,\mathrm{△TSP}\,\) ∽ \(\,\mathrm{△TUV}\,\) になっています。, つまり、\(\,\mathrm{△DQP}\,\)は直角三角形なので面積は簡単に求まります。, 三平方の定理から =60\,\pi\), と、求まりますが、扇形の弧の長さがわかっているときは、次の公式が使えます。 \mathrm{PQ^2}&=&\mathrm{AE^2+EF^2}\\ &=&\color{black}{\fbox{ \(\,24\,\) }}\sqrt{\color{black}{\fbox{ \(\,5\,\) }}}  表面積は、扇形の面積と、底面の円の面積を足すだけです。, 扇形の面積は普通に求めれば、中心角が\(\,150°\,\)と分かっているので \(16-13+2\sqrt{13}x-x^2=9-x^2\) と問題に書いてあるので、\(\,\mathrm{△AEF}\,\)の面積は, \(\displaystyle △\mathrm{AEF}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\,=\,\color{blue}{2}\), \(\color{magenta}{16}-\color{blue}{2}\,=\color{red}{14}\), 高さは正四角錐\(\,\mathrm{O-ABCD}\,\)と同じ\(\,\color{red}{6}\,\)で変わっていません。, \(\begin{eqnarray}\displaystyle  \(\,\mathrm{AQ=4}\,\) \(3+2\sqrt{13}x=9\) \(ND\) の長さが求める長さ、最終目標です。, 空間図形において、注目しているものを含む平面で考える。 \(OQ^2+\sqrt{3}^2=4^2\) なので

図のようになり、 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}).  \(\begin{eqnarray} \(EC^2=4^2-(\sqrt{13}-x)^2\)・・・①, \(4^2-(\sqrt{13}-x)^2=3^2-x^2\) 算数の問題について質問です。正四角錐は辺が同じ長さの正四面体の2倍の体積なのだそうですが、それがイマイチ何故そうなのか理解出来ません。理解できるようにわかりやすく解説して頂きたいです。よろしくお願いします。正四面体は四面 \(2\sqrt{13}x=6\) V&=&\frac{1}{3}\times\color{blue}{ 4\sqrt{5}\times 12}\times \color{magenta}{\frac{9}{\sqrt{5}}}\\ &=&80\\ ポイントは三平方の定理の利用と四角錐の体積の高さとなる垂線を求めるだけですが、錐体の体積の基本に戻ると別解が見えてきます。, 見つけいにくいのは〔問2〕の四角錐の体積を求めるときの高さですが、 ということですよ。, \(\,24\pi\,\)で\(\,360°\,\)なら\(\,10\pi\,\)のときの中心角は?, という関係から比例式を立てると、求める中心角を\(\,x\,\)とおいて、 24\pi:360&=&10\pi:x\\

数学では、前の小問の結果を利用して次を解くということが 錐体の体積を求めるときに\(\,\displaystyle \frac{1}{3}\,\)をかけ忘れたり、 V_{1}&=&\frac{1}{3}\times \color{red}{16}\times \color{red}{6}\\ 合わせると求める表面積が求まります。, \(\color{red}{60\,\pi}+\color{red}{25\,\pi}=\underline{ 85\,\pi } (cm^2)\), 展開図にすれば、平面で考えることができます。 \end{eqnarray}\), 基本的にはこれでいいと思います。  底面の円周と扇形の弧の長さが等しい 「最短距離」を意味しているので垂直に下りていなくてはなりません。 \mathrm{S}&=&\frac{1}{2}\times 12\times 10\,\pi\\ 9:6\sqrt{5}&=&\mathrm{PS}:6\\ 底面が正方形で、正四角錐なので、底面の対角線の交点上に高さとなる垂線は下りてきます。, (2) \end{eqnarray}\), これは底面である長方形の面積を先に出しておけば気がつくことなので、 &=&150 &=&\left(\color{red}{2}+\color{blue}{\frac{5}{2}}\right)\times \color{red}{8}\\ \mathrm{△DQP}&=&\frac{1}{2}\times \mathrm{PQ}\times \mathrm{DQ}\\ 高さが問題になるということで、高さの話を先にしただけです。

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